Lineare Algebra Beispiele

$5 x + 6 y = 100$ , $2 x + 3 y = 46$

Schritt 1

Löse in $5 x + 6 y = 100$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 100 - 6 y$

$2 x + 3 y = 46$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 100 - 6 y$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 100 - 6 y$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{100}{5} + \frac{- 6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{100}{5} + \frac{- 6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{100}{5} + \frac{- 6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

$x = \frac{100}{5} + \frac{- 6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

$x = \frac{100}{5} + \frac{- 6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $100$ durch $5$ .

$x = 20 + \frac{- 6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$2 x + 3 y = 46$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $20 - \frac{6 y}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + 3 y = 46$ durch $20 - \frac{6 y}{5}$ .

$2 (20 - \frac{6 y}{5}) + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (20 - \frac{6 y}{5}) + 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 20 + 2 (- \frac{6 y}{5}) + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$40 + 2 (- \frac{6 y}{5}) + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{6 y}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$40 - 2 \frac{6 y}{5} + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{6 y}{5}$ .

$40 + \frac{- 2 (6 y)}{5} + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$40 + \frac{- 12 y}{5} + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{- 12 y}{5} + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$40 - \frac{12 y}{5} + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 - \frac{12 y}{5} + 3 y = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$40 - \frac{12 y}{5} + 3 y \cdot \frac{5}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $3 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$40 - \frac{12 y}{5} + \frac{3 y \cdot 5}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$40 + \frac{- 12 y + 3 y \cdot 5}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{- 12 y + 3 y \cdot 5}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 12 y + 3 y \cdot 5$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 12 y$ heraus.

$40 + \frac{3 y (- 4) + 3 y \cdot 5}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y \cdot 5$ heraus.

$40 + \frac{3 y (- 4) + 3 y (5)}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (- 4) + 3 y (5)$ heraus.

$40 + \frac{3 y (- 4 + 5)}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{3 y (- 4 + 5)}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.2

Addiere $- 4$ und $5$ .

$40 + \frac{3 y \cdot 1}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$40 + \frac{3 y}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{3 y}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{3 y}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{3 y}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$40 + \frac{3 y}{5} = 46$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3

Löse in $40 + \frac{3 y}{5} = 46$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{5} = 46 - 40$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $40$ von $46$ .

$\frac{3 y}{5} = 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$\frac{3 y}{5} = 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot (3 y) = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$\frac{1}{3} \cdot (3 y) = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (3 (y)) = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot (3 y) = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = \frac{5}{3} \cdot 6$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot 6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{5}{3} \cdot (3 (2))$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 5 \cdot 2$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = 5 \cdot 2$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = 10$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = 10$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = 10$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = 10$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

$y = 10$

$x = 20 - \frac{6 y}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 20 - \frac{6 y}{5}$ durch $10$ .

$x = 20 - \frac{6 (10)}{5}$

$y = 10$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $20 - \frac{6 (10)}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $6 (10)$ heraus.

$x = 20 - \frac{5 (6 \cdot (2))}{5}$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x = 20 - \frac{5 (6 \cdot (2))}{5 (1)}$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 20 - \frac{5 (6 \cdot (2))}{5 \cdot 1}$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 20 - \frac{6 \cdot (2)}{1}$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.1.1.2.4

Dividiere $6 \cdot (2)$ durch $1$ .

$x = 20 - (6 \cdot (2))$

$y = 10$

$x = 20 - (6 \cdot (2))$

$y = 10$

$x = 20 - (6 \cdot (2))$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere $- (6 \cdot (2))$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = 20 - 1 \cdot 12$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$x = 20 - 12$

$y = 10$

$x = 20 - 12$

$y = 10$

$x = 20 - 12$

$y = 10$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $20$ .

$x = 8$

$y = 10$

$x = 8$

$y = 10$

$x = 8$

$y = 10$

$x = 8$

$y = 10$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(8, 10)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(8, 10)$

Gleichungsform:

$x = 8, y = 10$

Schritt 7